a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (cùng $+45^o$=180^o)

$BD=CE$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE$ (c.g.c)

$\Rightarrow AD=AE$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta ADE$ cân đỉnh A

b) Ta có: $BD+BM=CE+CM\Rightarrow DM=EM$

Xét $\Delta AMD$ và $\Delta AME$ có:

$AD=AE$ (cmt)

$AM$ chung

$DM=EM$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AMD=\Delta AME$ (c.c.c)

$\Rightarrow\widehat{MAD}=\widehat{MAE}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AM$ là phân giác $\widehat{DAE}$ (đpcm)

Ta có $\Delta AMD=\Delta AME\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{AME}$

Mà $\widehat{AMD}+\widehat{AME}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{AMD}=\widehat{AME}=\dfrac{180^o}{2}=90^o$

$\Rightarrow AM\bot DE$ (đpcm)

c) Xét $\Delta$ vuông $  ABH$ và $\Delta$ vuông $ ACK$ có:

$AB=AC$ (gt)

$\widehat{BAH}=\widehat{CAK} $ (do $ \Delta ABD=\Delta ACE $)

$\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACK$ (ch-gn)

$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

d) $\Delta ABH=\Delta ACK\Rightarrow AH=AK\Rightarrow\Delta AHK $ cân đỉnh $A$

$\Rightarrow \widehat{H_1}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

Mà $\Delta ADE$ cân đỉnh A nên $\widehat D=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

nên ta được $\widehat{H_1}=\widehat{D}$ $(=\dfrac{180^o-\widehat A}{2})$

Mà chúng ở vị trí đồng vị nên $HK\parallel BC$ (đpcm)

e) Xét $\Delta$ vuông $AHN$ và $\Delta$ vuông $ AKN$ có:

$AH=AK$ (cmt)

$AN$ chung

$\Rightarrow \Delta AHN=\Delta AKN$ (ch-cgv)

$\Rightarrow\widehat{HAN}=\widehat{KAN}$ (hai góc tương ứng)

Nên $AN$ là phân giác $\widehat{DAN}$

Ta có: AM và AN đều là phân giác $\widehat{DAN}$ nên $A, M, N$ thẳng hàng.