Bài 5:

a) ΔABC cân tại A  ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB

Mà ∠ACB = ∠NCE (2 góc đối đỉnh)

⇒ ∠ABC = ∠NCE

Xét ΔBDM và ΔCEN có:

      ∠BDM = ∠CEN = $90^{o}$

       BD = CE (gt)

      ∠MBD = ∠NCE (cmt)

⇒ ΔBDM = ΔCEN (c.g.c)

⇒ DM = EN (2 cạnh tương ứng)

b) Gọi I là giao điểm của BC và MN

Ta có: DM ⊥ BC; EN ⊥ BC

⇒ DM // EN  ⇒ ∠DMI = ∠ENI (2 góc so le trong)

Xét ΔMDI và ΔNEI có:

      ∠MDI = ∠NEI = $90^{o}$

       DM = EN (theo a)

      ∠DMI = ∠ENI (cmt)

⇒ ΔMDI = ΔNEI (g.c.g)

⇒ IM = IN (2 cạnh tương ứng)

⇒ I là trung điểm của MN

⇒ Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC); đường thẳng vuông góc với MN tại I cắt AH tại K

Xét ΔABH và ΔACH có:

       AB = AC (theo a)

      ∠AHB = ∠AHC = $90^{o}$

      ∠ABH = ∠ACH (theo a)

⇒ ΔABH = ΔACH (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ ∠BAH = ∠CAH (2 góc tương ứng)

Xét ΔABK và ΔACK có:

        AB = AC (theo a)

         AK: cạnh chung

        ∠BAK = ∠CAK (cmt)

⇒ ΔABK = ΔACK (c.g.c)

⇒ ∠ABK = ∠ACK (2 góc tương ứng)

      BK = CK (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔMIK và ΔNIK có:

       IM = IN (theo b)

        IK: cạnh chung

        ∠MIK = ∠NIK = $90^{o}$

⇒ ΔMIK = ΔNIK (c.g.c)

⇒ MK = NK (2 cạnh tương ứng)

Ta có: ΔBDM = ΔCEN (theo a)

⇒ BM = CN (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔKBM và ΔKCN có:

       MK = NK (cmt)

       BM = CN (cmt)

       BK = CK (cmt)

⇒ ΔKBM = ΔKCN (c.c.c)

⇒ ∠MBK = ∠NCK (2 góc tương ứng)

mà ∠ABK = ∠ACK (cmt)

⇒ ∠ACK = ∠NCK

Mà ∠ACK + ∠NCK = $180^{o}$ (2 góc kề bù)

⇒ ∠ACK = ∠NCK = $\frac{180^{o}}{2}$ = $90^{o}$

⇒ CK cố định; AH cố định

⇒ K cố định

⇒ đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC

Bài 5

a) Xét 2 tam giác vuông BDM và CEN có:

BD=CE

$\widehat{DBM}=\widehat{ECN}$ ( cùng bằng góc $\widehat{ACB}$)

Suy ra: ΔBDM=ΔCEN (góc nhọn - cạnh góc vuông)

⇒DM = EN

b) Xét 2 tam giác vuông MDI và NEI có:

MD=NE

$\widehat{DIM}=\widehat{EIN}$

Suy ra: ΔMDI=ΔNEI (góc nhọn - cạnh góc vuông)

⇒MI = NI 

⇒ I là trung điểm MN

c)  Chứng minh:
Vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có:
ΔHAB=ΔHAC (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒$\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$(2 góc tương ứng)
Gọi O là giao điểm của AH với đường vuông góc với MN tại I, ta có:
ΔABO=ΔACO (c.g.c)

⇒$\widehat{OBA}=\widehat{OCA}$ (2 góc tương ứng) (1)
ΔOIM=ΔOIN (c.g.c)

⇒OM=ON (2 cạnh tương ứng)
ΔOBM=ΔOCN (c.c.c)

⇒$\widehat{MBO}=\widehat{NCO}$ (2 góc tương ứng) (2)
Lại có: N thuộc tia đối AC (gt) nên C thuộc đoạn AN

$\widehat{ACO}+\widehat{OCN}=180^o$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=\widehat{OCN}=90^o$
Điểm O cố định vì OB vuông góc với AB tại B và OC vuông góc với AC tại C (hay OB và OC duy nhất)
Vậy: Đường thằng vuông góc MN tại I cắt tại điểm O cố định khi D thay đổi trên BC