Đáp án:

 a) ΔABC và ΔADE vuông tại A có:

+ AB = AD
+ AC = AE
=> ΔABC = ΔADE (c-g-c)

b) TA có góc BAH + góc ABC = 90 độ

+ góc ACH + góc ABC= 90 độ

=> góc BAH = góc ACH (cùng phụ với 1 góc)

c) Có góc AED = góc ACH và góc EAF = góc BAH

=> góc AED = góc EAF

=> tam giác AEF cân tại E
=> EA = EF
=> tam giác vuông ADE Có EA = EF

=> F là trung điểm của DE.

d) 

Xét tam giác ACE có: B,D thuộc AE và AC có:

$\begin{array}{l}
\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AC}}\left( {Do:AB = AD;AE = AC} \right)\\
 \Rightarrow BD//CE\left( {Theo\,Talet} \right)\\
 \Rightarrow \frac{{BD}}{{CE}} = \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BD + CE}}{{CE}} = \frac{{AB + AE}}{{AE}}\\
 \Rightarrow BD + CE = CE.\frac{{AB + AE}}{{AE}} = \sqrt 2 AE.\frac{{BE}}{{AE}} = \sqrt 2 BE\\
\left( {do:CE = \sqrt {A{C^2} + A{E^2}}  = \sqrt {2A{E^2}}  = AE\sqrt 2 } \right)\\
Vậy:BD + CE = \sqrt 2 BE
\end{array}$