c) Gọi I là giao điểm của AE và MN

Xét $\triangle ADE$ có: $\begin{cases}AN=DN\\NI//DE\end{cases}$

`=> AI = EI`

$\triangle ADE$ vuông tạii E có EN là đường trung tuyến

`=> EN = 1/2 AD = AN`

`=>` $\triangle ANE$ cân tại N

`=>` NI là đường trung tuyến đồng thời là phân giác

`=> \hat{ANI} = \hat{ENI}`

Xét $\triangle AMN$ và $\triangle EMN$ có:

      `AN = EN` (cmt)

       `\hat{ANM} = \hat{ENM}` (cmt)

       MN: chung

`=>` $\triangle AMN = \triangle EMN (c.g.c)$

`=> \hat{MAN} = \hat{MEN}` (2 góc tương ứng)

mà `\hat{MAN} = 90^o => \hat{MEN} = 90^o`

`=> ME ⊥ NE` (đpcm)

$\underline{\text{A - AMHN LÀ HÌNH CHỮ NHẬT}}$

+ Có: `ΔABC` vuông tại `A` (gt) `⇒ \hat{BAC} = 90^o`

         `M` là hình chiếu của `H` trên `AB`(gt) `⇒ MH ⊥ AB` tại `M` `⇒ \hat{AMH} = \hat{BMH} = 90^o`

         `N` là hình chiếu của `H` trên `AC` (gt) `⇒ NH ⊥ AC` tại `N` `⇒ \hat{ANH} = \hat{HNC} = 90^o`

+ Xét tứ giác `AMHN` có:

$\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{MAN} = 90^o$ (cmt)}\\\text{$\widehat{AMH} = 90^o$ (cmt)}\\ \text{$\widehat{ANH} = 90^o$ (cmt)} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AMHN là hình chữ nhật (DHNB)}$

$\\$

$\underline{\text{B - MHDN LÀ HÌNH BÌNH HÀNH}}$

+ Có: `D` đối xứng với `A` qua `N` (gt)

`⇒ N` là trung điểm `AD` 

`⇒ AN = ND`

+ Có: `AMHN` là hình chữ nhật (cmt) 

$⇒\begin{cases} \text{AN = MH (t/c) mà AN = ND (cmt) ⇒ MH = ND }\\\text{AN // MH (t/c) hay ND // MH (N ∈ AD)}\\\text{} \end{cases}$

+ Xét tứ giác `MHDN` có:

$\left.\begin{matrix} \text{MH = DN (cmt)}\\\text{MH // DN (cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ MHDN là hình bình hành (DHNB)}$

$\\$

$\underline{\text{C - CM: ME VUÔNG GÓC NE}}$

Gọi `I` là giao điểm `MN` và `AE`

+ Có: `MHDN` là hình bình hành (cmt) 

⇒ MN // HD (đ/n)

+ Lại có:

$\left.\begin{matrix} \text{MN // HD (cmt)}\\\text{AE ⊥ HD (gt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AE ⊥ MN (q.hệ từ $\bot$ → song song)}$

+ Xét `ΔAED` vuông tại `E` (`AE ⊥ HD` tại `E`) có:

        `EN` là đường trung tuyến (`N` là trung điểm `AD` -  cmt)

`⇒ EN = 1/2 AD` (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông)

mà `AN = 1/2AD` (`N` là trung điểm `AD`)

`⇒ EN = AN (= 1/2 AD)`

`⇒ ΔEAN` cân tại `N` (đ/n)

mà `NI` là đường cao (hay MN ⊥ AE tại I) 

⇒ NI là phân giác $\widehat{ANE}$ (t/c tam giác cân)

⇒ $\widehat{ANI} = \widehat{ENI}$

+ Xét `ΔAMN` và `ΔEMN` có:

$\left.\begin{matrix} \text{AN = EN (cmt)}\\\text{$\widehat{ANM} = \widehat{ENM}$}\\ \text{MN chung} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ΔAMN = ΔEMN (c - g - c)}$

⇒ $\widehat{MAN} = \widehat{MEN}$ (2 góc tương ứng)

mà $\widehat{MAN} = 90^o$

⇒ $\widehat{MEN} = 90^o$

⇒ `ME ⊥ EN` tại `E`