a) Gọi $I'$ là trung điểm cạnh $EC$

$\Rightarrow DI'$ là đường trung bình $\Delta BCE\Rightarrow DI'\parallel BE$ (1)

$I'H$ là đường trung bình $\Delta EDC\Rightarrow I'H\parallel DC$

Mà $DC\bot AD\Rightarrow I'H\bot AD$

$\Delta ADI'$ có $DE\bot AI'$ và $I'H\bot AD$

$\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ADC$

$\Rightarrow AH\bot DI'$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH\bot BE$

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BD$

$I$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow IM$ là đường trung bình $\Delta ADB$

$\Rightarrow IM\parallel AD$

$\Rightarrow IM\bot BD(AD\bot BD)$

Mà $FM\bot BD$

$\Rightarrow I,F,M$ thẳng hàng

$IM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{\sqrt{17^2-8^2}}{2}=\dfrac{15}{2}$

$\Delta FBD$ vuông cân đỉnh $F$

$\Rightarrow \Delta FBM$ vuông cân đỉnh $M$ (vì có $\widehat B=45^o$)

$\Rightarrow MF=BM=\dfrac{BD}{2}=4$

$\Rightarrow IF=IM-FM=\dfrac{15}{2}-4=\dfrac{7}{2}$