$\text{a.Áp dụng định lý Pitago vào ΔABC :}$

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15cm$

$\text{b.Xét ΔABC và ΔADC có :}$

$\text{AC : chung

$\text{AB=AD}$

$\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=90^o$

$\text{⇒ΔABC=ΔADC ( c.g.c )}$

$\text{⇒BC=DC}$

$\text{⇒ΔCBD cân tại C}$

$\text{b.Xét ΔAKD và ΔAHB có :}$

$\text{AD=AB}$

$\widehat{AKD}=\widehat{AHB}=90^o$

$\widehat{ADC}=\widehat{ABC} ( ΔABC=ΔABD )$

$\text{⇒ΔAKD=ΔAHB ( cạnh huyền - góc nhọn )}$

$\text{⇒KD=HB}$

$\text{Ta có :}$

$\text{KC=CD-KD}$

$\text{CH=CB-HB}$

$\text{Mà CD=CB ( CBD cân ) ; KD=HB (cmt)}$

$\text{⇒CK=CH}$

$\text{Xét ΔAHC và ΔAKC có :}$

$\text{CK=CH}$

$\text{CA : chung}$

$\widehat{CKA}=\widehat{CHA}=90^o$

$\text{⇒ΔAHC=ΔAKC ( c.g.c )}$

Đáp án:

 a) Xét ΔABC vg tại A

⇒ BC²=AB²+AC² (ĐLÍ PY-TA-GO)

⇒BC=√(9²+12²)= 15 (cm)

b) Ta có AD=AB=9 cm

Xét ΔACD 

⇒ CD²=AC²+AD²

⇒CD=15cm

 Xét ΔCBD có: CB=CD( =15cm)

⇒ Δ CBD cân tại C (t/c tg cân)

c) Vì ΔCBD cân tại C, CA⊥BD

⇒ AC là tia p/g góc C (t/c tg cân)

⇒ góc BCA= Góc DCA

XÉt ΔHAC và ΔKAC có: góc CHA= góc CKA=90

AC cạnh chung

Góc BCA= góc DCA

⇒ ΔHAC= ΔKAC    ( ch-gn )

d) Vì ΔHAC= ΔKAC 

⇒CH=CK

⇒ΔCKH cân tại C (t/c tg cân)

mà AC là tia p/g góc C

⇒ AC⊥HK (t/c tg cân)

mà AC⊥BD

⇒ HK ║BD