a) $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $I$ là trung điểm cạnh $BC$

$\Rightarrow AI$ là phân giác cũng là đường cao

$\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{CAI}$

Và $AI\bot BC$ mà $MN\parallel BC\Rightarrow AI\bot MN$

$\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{NAC}$ (vì cùng phụ với 2 góc bằng nhau $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:

$AM=AN$

$\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$

$AB=AC$

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACN$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BMA}=\widehat{CNA}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

Tứ giác $BCNM$ có $MN\parallel BC\Rightarrow BCNM$ là hình thang

Từ 2 điều trên $\Rightarrow BCNM$ là hình thang cân.

 

b) Do $H,K$ là trung điểm của $BM$ và $CN$

$\Rightarrow HK$ là đường trung binh hình thang $BCNM$

$\Rightarrow HK\parallel BC\Rightarrow HK\bot AI$

Gọi $HK\cap AI=E$

Do $ \Delta ABM=\Delta ACN$

$\Rightarrow HB=KC$ ($=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{2}CN$)

Và $\widehat{ABH}=\widehat{ACK}$

$AB=AC$

Từ 3 điều trên suy ra $\Delta ABH=\Delta ACK$ (c.g.c)

$\Rightarrow AH=AK$

$\Rightarrow \Delta AHK$ là tam giác cân $AE$ là đường cao cũng là trung tuyến

$\Rightarrow E$ là trung điểm cạnh $HK$

$\Rightarrow AI$ và $HK$ vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow AHIK$ là hình thoi.