Giả sử x ≤ y

Ta có: y² ≤ y² + 8x ≤ y² + 8y ≤ y² + 8y + 16 = (y + 4)²

=> y² + 8x = (y+1)²

                      (y+2)²

                       (y+3)²

Xét TH₁ : y² + 8x = (y + 1)²

=> y² + 8x = y² + 2y +1

=> 8x - 2y = 1

=> 4x - y = 1212 => Loại vì x, y ∈ N^*

Xét TH₂: y² + 8x = (y + 2)²

=> y² + 8x = y² + 4x + 4

=> 8x - 4y = 4

=> 2x - y = 1 mà x;y ∈ N^* nên ta có các trường hợp sau:

Nếu x = 1 => y = 1 => x² + 8y = 9 (TM) ; y² + 8x = 9 (TM)

Nếu x = 2 => y = 3 => x² + 8y = 28 (Loại)

Nếu x ≥ 3 => 2x ≥ 6 => y ≤ 5 => Loại vì x≤ y

Xét TH₃ : y² + 8x = ( y +3 )²

=> y² + 8x = y² + 6y + 9

=> 8x - 6y = 9

=> 4x - 3y = 4,5 => Loại vì x,y ∈ N^*

Vậy (x,y) = (1;1)

Vai trò của $x$, $y$ là như nhau

Giả sử $x≤y$

Ta có: $y²+8x≤y²+8y<y²+8y+16=(y+4)²

⇒ $y²+8x∈\{(y+1)²;(y+2)²;(y+3)²\}$

Nếu $y²+8x=(y+1)²$

⇔ $8x-2y=1$

⇔ $4x-y=0,5$

⇒ Vô lí

Nếu $y²+8x=(y+2)²$

⇔ $8x-4y=4$

⇔ $2x-y=1$

Mà $x≤y$⇒ $x=y=1$

⇒ $x²+8y=9=3²$⇒ Tm

Nếu $y²+8x=(y+3)²$

⇔ $8x-6y=9$

⇒ Vô lí

Vậy $(x;y)=(1;1)$