Đáp án +Giải thích các bước giải:

Câu 4:

`n^2(n + 1) + 2n(n + 1)`

`= (n + 1)(n^2 + 2n)`

`= n(n + 1)(n + 2)`

Có `n(n + 1)` là `2` số tự nhiên liên tiếp nên `n` `\vdots` `2`

Có `n(n + 1)(n + 2)` là `3` số tự nhiên liên tiếp nên `n` `\vdots` `3`

`⇒ n(n + 1)(n + 2)` chia hết cho một số chẵn hoặc một số lẻ với `∀n`

Câu 5:

`a)` Xét tứ giác `MIOJ` có:

`\hat{JMI} = 90^0` ( `\triangleMNP` vuông tại `M )`

`\hat{OJM} = 90^0` ( `OJ ⊥ MN` tại `J )`

`\hat{OIM} = 90^0` ( `OI ⊥ MP` tại `I )`

`⇒ MIOJ` là hình chữ nhật

`b)` Xét `\triangleMNP` vuông tại `M` có `MO` là trung tuyến ứng với cạnh huyền `NP`

`⇒ MO = (NP)/2 = (24)/2 = 12cm`

Mà `IJ = MO` ( do `MIOJ` là hình chữ nhật )

`⇒ IJ = 12cm`

Câu 4

`n²(n+1) + 2n(n+1)`

`=` `(n+1)(2n+n²)`

`=``n(n+1)(n+2)`

`=``n(n+1)(n+2)`

Ta có ` n(n+1)(n+2)` là 3 số liên tiếp

Vì n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2

⇒ `n` $\vdots$ `2`

⇒ n, n + 1, n + 2 là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3

⇒ `n²(n+1) + 2n(n+1)` chia hết cho số chẵn và lẽ

Câu 5

a)

Xét tứ giác `MIOJ` , ta có:

`OI ⊥ MP`  (gt)

`OJ ⊥ MN` (gt)

$\widehat{JMI}$ = $90^0$ (gt)

⇒ `MJOI` là hình chữ nhật (Tứ giác 3 góc vuông)

b) Ta có `OM`  = `IJ` (hình chữ nhật)

Xét $\triangle$`MNP` vuông tại `M` :

`MO` là đường trung tuyến

⇒ `MO` = `1/2NP` = `12cm`

⇒ `IJ = 12cm`