a.

Gọi $M'$ và $N'$ là giao điểm của tia $AM$ và $BN$ với $CD$.

Ta có: $\widehat {M'} = \widehat{A_2}$ (sole trong)

$\widehat{A_1}= \widehat{A_2} $ (gt)

$⇒ \widehat{M'} = \widehat{A_1}$ nên $ΔADM'$ cân tại $D$

 

* DM là phân giác của $\widehat{ADM'}$

Suy ra: $DM$ là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

$⇒ AM = MM'$

$\widehat{N'} = \widehat{B_1} $ nên $ΔBCN'$ cân tại $C$.

 

* CN là phân giác của $\widehat{BCN'}$

Suy ra: CN là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

$⇒ PN = NN'$

Suy ra: $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABN'M'$

$⇒ MN = M'N'$ (tính chất đường trung hình hình thang)

Hay $MN//CD$

b) $MN=AB+\dfrac{M′N′}2$ (tính chất đường trung bình của hình thang)

$⇒MN=AB+M′D+CD+\dfrac{CN′}2$ (1)

Mà $M′D=AD,CN′=BC.$ Thay vào (1)

$MN=AB+AD+CD+\dfrac{BC}2=a+d+c+\dfrac b2$