`a)`

Vì `E` là trung điểm của `AB`

`D` là trung điểm của `AC`

`=> ED` là đường trung bình của \(\Delta\) `ABC`

\(\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}.8=4\left(cm\right)\)

`ED//BC`

Vì `ED//BC`

`=> EDCB` là hình thang

Vì `M` là trung điểm của `EB`

`N` là trung điểm của `DC`

`=> MN` là đường trung bình của hình thang `EDCB`

\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}\left(ED+BC\right)\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}.\left(4+8\right)=6\left(cm\right)\)

Và `ED//BC // MN`

`b)`

Vì `M` là trung điểm của `BE`

Mà `MI // ED`

`=> I` là trung điểm của `BD`

`=> MI` là đường trung bình của \(\Delta\) `BED`

`=> MI =` \(\dfrac{1}{2}ED\) `(1)`

C/m tương tự ta có:

`NK =` \(\dfrac{1}{2}ED\) `(2)`

Vì `I` là trung điểm của `BD`

`N` là trung điểm của `DC`

`=> IN` là đường trung bình của \(\Delta\) `BDC`

`=> IN =` \(\dfrac{1}{2}BC\)

`ED =` \(\dfrac{1}{2}BC\) `(cmt)`

`=> IN = ED`

`=> IK + KN = ED`

`=> IK +` \(\dfrac{1}{2}ED\) `= ED`

`=> IK =` \(\dfrac{1}{2}ED\) `(3)`

Từ `(1),(2),(3)` ta có :

`MI = IK = KN` ( = \(\dfrac{1}{2}ED\) )

Lời giải:

a) Xét $\triangle ABC$ có:

$AE = EB = \dfrac12AB$

$AD = DC = \dfrac12AC$

$\Rightarrow ED$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}ED = \dfrac12BC = 4\ cm\\ED //BC\end{cases}$

$\Rightarrow BCDE$ là hình thang đáy $ED$ và $BC$

Xét hình thang $BCDE$ có:

$EM = MB = \dfrac12BE$

$DN = NC = \dfrac12CD$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}MN = \dfrac12(BC + DE) = \dfrac12(8 + 4) = 6\ cm\\MN//BC//DE\end{cases}$

b) Xét $\triangle BDE$ có:

$BM = ME = \dfrac12BE$

$MI//ED\quad (MN//ED;\ I\in MN)$

$\Rightarrow IB = ID = \dfrac12BD$

$\Rightarrow MI$ là đường trung bình

$\Rightarrow MI = \dfrac12ED = 2\ cm$

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:

$NK = \dfrac12ED= 2\ cm$

Ta được:

$\quad IK = MN - MI - NK$

$\Leftrightarrow IK = 6 - 2 - 2 = 2\ cm$

$\Rightarrow MI = IK = KN$