$\\$

`\triangle DEB` có :

`M,N` là trung điểm của `DE, BE`

`-> MN` là đường trung bình

`->` $MN//BD$ và `MN=1/2 BD`

`\triangle BDC` có :

`P,Q` là trung điểm của `BC,CD`

`->PQ` là đường trung bình

`->` $PQ//BD$ và `PQ=1/2 BD`

$MN//BD, PQ//BD$

`->` $MN//PQ$

`MN=1/2 BD, PQ=1/2 BD`

`-> MN=PQ`

$PQ//BD$ hay $PQ//AB$

Mà `AB\bot AC`

`-> PQ\bot AC`

`\triangle DEC` có:

`M,Q` là trung điểm của `DE,DC`

`->MQ` là đường trung bình

`->` $MQ//AC$ mà `PQ\bot AC`

`-> MQ\bot PQ`

Tứ giác `MNPQ` có :

$MN//PQ,MN=PQ$

`-> MNPQ` là hình bình hành mà `hat{PQM}=90^o`

`->MNPQ` là hình chữ nhật

 

Lời giải:

Xét $\triangle BDE$ có:

$DM = ME =\dfrac12DE$

$BN = NE =\dfrac12BE$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}MN//BD\\MN =\dfrac12BD\end{cases}\qquad (1)$

Xét $\triangle BCD$ có:

$DQ = QC =\dfrac12DC$

$BP= PC =\dfrac12BC$

$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}PQ//BD\\PQ =\dfrac12BD\end{cases}\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành $(3)$

Xét $\triangle DEC$ có:

$DM = ME =\dfrac12DE$

$DQ = QC =\dfrac12DC$

$\Rightarrow MQ$ là đường trung bình

$\Rightarrow MQ//EC$

$\Rightarrow MQ//AC$

Ta lại có: $MN//AB \quad (MN//BD; D\in AB)$

$AB\perp AC$

$\Rightarrow MN\perp MQ$

$\Rightarrow \widehat{NMP}= 90^\circ\qquad (4)$

Từ $(3)(4)\Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật