a,

Xét tứ giác `AMBN` có :

`I` là trung điểm của `AB`

`I` là trung điểm của `NM` ( `N` đối xứng với `M` qua `I` )

`=> AMBN` là hình bình hành (dhnb). 

$\\$

`AM` là đường trung tuyến của `\triangle <=> M` là trung điểm của `BC` 

Ta có : `I,M` là trung điểm của `AB, BC => MI` là đường trung bình của `\triangle ABC`

Nên $IM \parallel AC$ mà `AB \bot AC => IM \bot AB => MN \bot AB`

`=> AMBN` là hình thoi (dhnb).

$\\$

b,

Áp dụng định lý Py-ta-go cho `\triangle ABC` vuông tại `A` 

`=> AB^2 + AC^2 =BC^2`

`=> 12^2+16^2 =BC^2 => BC = \sqrt{12^2+16^2} = \sqrt{400} =20`

Mà `AM` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` 

`=> AM =1/2BC =1/2 . 20 =10cm`

`=> AM =MB =AN =BN =10cm` ( Định nghĩa hình thoi )

$\\$

`MI` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`=> MI =1/2AC`

`=> 2MI = AC`

`=> MN = AC = 16cm`

Vì `AB` là đường chéo của hình thoi `AMBN` . Nên độ dài đường chéo `AB =12cm`

$\\$

Vậy độ dài các cạnh của hình thoi là `10cm` và độ dài của `2` đường chéo là `MN = 16cm ; AB =12cm`  

`text{@dg}`

`text{trong hình}`