Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AC\perp BC$

$\Rightarrow AC\perp MB$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle MAB$ vuông tại $A$ đường cao $AC$ ta được:

$\quad MA^2 = MC.MB$

b) Ta có:

$\widehat{ACB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{ACM} = 90^\circ$

$AI\perp OM \Rightarrow \widehat{AIM} = 90^\circ$

Xét tứ giác $MCIA$ có:

$\widehat{ACM} = \widehat{AIM} = 90^\circ$

$\widehat{ACM}$ và $\widehat{AIM}$ cùng nhìn cạnh $AM$

Do đó $MCIA$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow M,C,I,A$ cùng thuộc một đường tròn

 

Đáp án+Giải thích các bước giải:

1/

Ta có: `OA=OB=OC=R`

`=>ΔABC` vuông tại `C`( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Hay `AC⊥BM`

Xét `ΔAMB` vuông tại `A`(gt) có `AC` là đường cao ứng với cạnh huyền

Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông:

`AM^2=MC.MB`

2/

Gọi `H` là trung điểm `AM`

Ta có: `\hat{MIA}=180^o-\hat{OIA}=180^o-90^o=90^o`

Hay `ΔAMI` vuông tại `I`

`=>HI=MH=HA(1)`

Ta lại có: `\hat{MCA}=180^o-\hat{ACB}=180^o-90^o=90^o`

Hay `ΔMAC` vuông tại `C`

`=>HC=HM=HA(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=>HM=HC=HI=HA`

`=>` Bốn điểm `M, C, I, A` cùng thuộc một đường tròn