Bài `5`:

`a,` Xét `\triangle KAB` và `\triangle KDC` có:

`KA = KD` (Giả thiết)

`hat{AKB} = hat{DKC}` (2 góc đối đỉnh)

`KB = KC` (K là trung điểm của `BC`)

`=> \triangle KAB = \triangle KDC (c -g-  c)`

`=> hat{KAB} = hat{KDC}` (2 góc tương ứng)

Mà `2` góc này ở vị trí so le trong nên `AB //// CD`

`b,` Từ `\triangle KAB = \triangle KDC` (Chứng minh câu `a`)

`=> AB = CD` (2 cạnh tương ứng)

Vì `\triangle ABC` vuông tại `A` nên `AB ⊥ AC`

Mà `AB //// CD => CD ⊥ AC`

Xét `\triangle ABH` và `\triangle CDH` có:

`AB = CD` (Chứng minh trên)

`hat{BAH} = hat{DCH}` (`AB ⊥ AC ; CD ⊥ AC`)

`AH = HC` (H là trung điểm của `AC`)

`=> \triangle ABH = \triangle CDH (c - g - c)`

`c,` Vì `KA = KD` 

`=> KA = 1/2 AD (1)`

Xét `\triangle ABC` và `\triangle CDA` có:

`AB = CD` (Chứng minh trên)

`AC` : cạnh chung

`hat{BAC} = hat{DAC} = 90^o`

`=> \triangle ABC = \triangle CDA (c - g - c)`

`=> BC = AD` (2 cạnh tương ứng) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `AK = 1/2 BC`

`d,` Vì `KA = KC`

`=> \triangle KAC` cân tại `K`

`=> hat{KAC} = hat{KCA}`

Mà `hat{KAC} + hat{BAM} = hat{BAC} = 90^o`

     `hat{KCA} + hat{DCN} = hat{DCA} = 90^o`

`=> hat{BAM} = hat{DCA}`

Xét `\triangle ABH` và `\triangle CDH` có:

`AB = CD` (Chứng minh trên)

`hat{BAH} = hat{DCH} = 90^o`

`HA = HC` (Giả thiết)

`=> \triangle ABH = \triangle CDH (c - g - c)`

`=> BH = DH` (2 cạnh tương ứng) `(3)`

`=> hat{ABH} = hat{CDH}` (2 góc tương ứng)

Xét `\triangle ABM` và `\triangle CDN` có:

`AB = CD` (Chứng minh trên)

`hat{ABM} = hat{CDN}` (Chứng minh trên)

`hat{BAM} = hat{DCN}` (Chứng minh trên)

`=> \triangle ABM = \triangle CDN (g - c - g)`

`=> BM = DN` (2 cạnh tương ứng) `(4)`

Lấy `(3)` trừ `(4)` , ta được:

`BH - BM = DH - DN`

`MH = NH` (đpcm)

$\\$

`a,`

`\triangle AKB` và `\triangle DKC` có :

`AK=DK` (gt)

`BK=CK` (gt)

`hat{AKB}=hat{DKC}` (Đối đỉnh)

`=>\triangle AKB=\triangle DKC` (cạnh - góc - cạnh)

`=>hat{KAB}=hat{KDC}` (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`=>` $AB//CD$

`b,`

`\triangle AKB=\triangle DKC` (cmt)

`=>AB=CD` (2 cạnh tương ứng)

$AB//CD, AB\bot AC$ (cmt, gt)

`=> CD\bot AB`

`\triangle ABH` và `\triangle CDH` có :

`AB=CD` (cmt)

`AH=CH` (gt)

`hat{BAH}=hat{DCH}=90^o(AB\bot AC, CD\bot AC)`

`=>\triangle ABH=\triangle CDH` (cạnh - góc - cạnh)

`c,`

`\triangle ABC` vuông tại `A` có :

`AK` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` (gt)

`=>AK=1/2 BC`

`d,`

`AK=1/2 BC, CK=1/2 BC` (cmt, gt)

`=>AK=CK`

`=>\triangle AKC` cân tại `K`

`=>hat{A_1}=hat{C_1}` (2 góc ở đáy)

`\triangle ABH=\triangle CDH` (cmt)

`=>hat{H_1}=hat{H_2}` (2 góc tương ứng)

`\triangle AMH` và `\triangle CNH` có :

`AH=CH` (gt)

`hat{A_1}=hat{C_1}` (cmt)

`hat{H_1}=hat{H_2}` (cmt)

`=>\triangle AMH=\triangle CND` (góc - cạnh - góc)

`=>MH=NH` (2 cạnh tương ứng)