Đặt một điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn dây không thuần cảm nối tiếp với tụ điện, vôn kế nhiệt mắc vào hai đầu cuộn dây. Nếu nối tắt tụ điện thì số chỉ vô...

* Hướng dẫn giải

Ban đầu, số chỉ của vôn kế là: \({{U}_{V1}}={{U}_{d}}=\frac{U\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\)

Nối tắt tụ điện, số chỉ của vôn kế là điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch: \({{U}_{V2}}=U\)

Theo đề bài ta có:

\({{U}_{V2}}=3{{U}_{V1}}\Rightarrow U=3{{U}_{d}}\Rightarrow U=3\frac{U\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\)

\(\Rightarrow {{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=9\left( {{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2} \right)\left( 1 \right)\)

Cường độ dòng điện trong hai trường hợp vuông pha với nhau, ta có:

\(\tan {{\varphi }_{1}}.\tan {{\varphi }_{2}}=-1\Rightarrow \frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}.\frac{{{Z}_{L}}}{r}=-1\)

\(\Rightarrow {{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=-{{r}^{2}}\)

Thay vào phương trình (1), ta có:

\(-{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}=9\left( -{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)+{{Z}_{L}}^{2} \right)\)

\(\Rightarrow {{Z}_{C}}^{2}-{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=9{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}\Rightarrow {{Z}_{C}}^{2}-10{{Z}_{L}}{{Z}_{C}}=0\Rightarrow {{Z}_{C}}=10{{Z}_{L}}\)

\(\Rightarrow {{r}^{2}}=-{{Z}_{L}}\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=9{{Z}_{L}}^{2}\Rightarrow r=3{{Z}_{L}}\)

Hệ số công suất của mạch điện lúc đầu là:

\(\cos \varphi =\frac{r}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\frac{3{{Z}_{L}}}{\sqrt{9{{Z}_{L}}^{2}+{{\left( {{Z}_{L}}-10{{Z}_{L}} \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)