Tìm các hàm số f( x ) biết rằng f'(x)=cosx/(2+sinx)^2

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt \(u = 2 + \sin x\).

Giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = \frac{{{\rm{cos}}{\mkern 1mu} x}}{{{{\left( {2 + \sin {\mkern 1mu} x} \right)}^2}}} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\frac{{{\rm{cos}}{\mkern 1mu} x}}{{{{\left( {2 + \sin {\mkern 1mu} x} \right)}^2}}}} {\mkern 1mu} dx\)

Đặt \(u = 2 + \sin {\mkern 1mu} x \Rightarrow du = {\rm{cos}}{\mkern 1mu} xdx\)

$\Rightarrow \int \frac{\cos x}{{(2+\sin x)}^2}𝑑x=\int \frac{du}{u^2}\mathrm{ }=\mathrm{ }-\frac{1}{u}+C=\mathrm{ }-\frac{1}{2+\sin x}+C$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\mathrm{ }-\frac{1}{2+\sin x}+C$