Cho f( x ) là hàm số liên tục trên tập số thực R và thỏa mãn f(x^2 + 3x + 1) = x + 2

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Nhân cả hai vế của phương trình \(f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2\) với \(2x + 3\).

- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế phương trình.

- Sử dụng phương pháp đổi biến số.

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có \(f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2\)

\( \Rightarrow f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)\)

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x^2+3x+1)(2x+3)𝑑x\mathrm{ }=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+2)(2x+3)𝑑x$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x^2+3x+1)(2x+3)𝑑x\mathrm{ }=\frac{61}{6}$

Đặt \(t = {x^2} + 3x + 1 \Rightarrow dt = \left( {2x + 3} \right)dx\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = 1 \Rightarrow t = 5}\end{array}} \right.\).

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x^2+3x+1)(2x+3)𝑑x\mathrm{ }=\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)𝑑t\mathrm{ }=\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)𝑑x$.

Vậy $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)𝑑x\mathrm{ }=\frac{61}{6}$