Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) cho đường thẳng d: (x - 1)/3= (y - 1)/ - 2 = (z - 1)/- 1 và điểm

Đáp án: 2

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d\) và \(A'\) là hình chiếu của \(A\) qua \(d\) \( \Rightarrow M \in d\) và \(M\) là trung điểm của \(AA'\).

+) Tham số hóa tọa độ điểm $M\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u_d}\mathrm{ }=0\Rightarrow M$

+) \(M\) là trung điểm của \(AA' \Rightarrow A' = 2M - A \Rightarrow A'\).

+) Cho \(A'\left( {x;y;z} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {A';\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {{y_{A'}}} \right|\).

Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d\) và \(A'\) là hình chiếu của \(A\) qua \(d\).

\( \Rightarrow M \in d\)và \(M\) là trung điểm của \(AA'\).

$M\in d\Rightarrow M(1+3t;1-2t;1-t)\Rightarrow \overrightarrow{AM}\mathrm{ }=(3t-4;1-2t;\mathrm{ }-t)$.

Ta có $AM\perp d\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u_d}\mathrm{ }=0$ với $\overrightarrow{u_d}=(3;-2;-1)$ là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).

\( \Rightarrow 3\left( {3t - 4} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) - 1\left( { - t} \right) = 0 \Leftrightarrow 14t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {4; - 1;0} \right)\).

\(M\) là trung điểm của \(AA' \Rightarrow A' = 2M - A = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Vậy \(d\left( {A';\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {{y_{A'}}} \right| = 2\).