Hàm số y=|(x-1)^3(x+1)| có bao nhiêu điểm cực trị

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\)  (với \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức) = số điểm cực trị của hàm \(f\left( x \right)\) + số giao điểm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành (Không tính điểm tiếp xúc).

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}\left( {x + 1} \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) + {\left( {x - 1} \right)^3}\)

\(f'\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {3x + 3 + x - 1} \right) = 0\)

$\iff {(x-1)}^2(4x+2)=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=\mathrm{ }-\frac{1}{2}\end{array}$

Trong đó \(x = 1\) là nghiệm bội chẵn, do đó hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${(x-1)}^3(x+1)=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\end{array}$, do đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

Vậy hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có \(1 + 2 = 3\) điểm cực trị.