Tìm m để phương trình căn bậc hai của (x^2 + mx + 2) = 2x+1 có 2 nghiệm phân biệt.

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Giải phương trình chứa căn $\sqrt{A}\mathrm{ }=B\iff \{\begin{array}{c}B\ge 0\\ A=B^2\end{array}.$

- Sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết:

Ta có: $\sqrt{x^2+mx+2}\mathrm{ }=2x+1$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ge -\frac{1}{2}\\ x^2+mx+2=4x^2+4x+1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}x\ge -\frac{1}{2}\\ 3x^2-(m-4)x-1=0(*)\end{array}$

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $x_1>x_2\ge \mathrm{ }-\frac{1}{2}.$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }>0\\ x_1+x_2>-1\\ (x_1+\frac{1}{2})(x_2+\frac{1}{2})\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{(m-4)}^2+12>0\left(luondung\right)\\ \frac{m-4}{3}>\mathrm{ }-1\\ -\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{m-4}{3}+\frac{1}{4}\ge 0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}m-4>-3\\ \frac{m-4}{6}\ge \frac{1}{12}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m>1\\ m-4\ge \frac{1}{2}\end{array}\iff m\ge \frac{9}{2}$

Vậy \(m \ge \frac{9}{2}\).