Cho tam giác (SAB) vuông tại A, góc ABS = 60^0. Phân giác của

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối nón \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\) và công thức thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).

Giải chi tiết:

Quay miền tam giác \(SAB\) quanh cạnh \(SA\) ta được khối nón có chiều cao \(h = SA\), bán kính đáy \(R = AB\).

\( \Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}\pi .A{B^2}.SA\)

Quay nửa hình tròn quanh cạnh \(SA\) ta được khối cầu có bán kính \(IA\).

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{IA}}{{IS}} = \frac{{AB}}{{SB}} = \cos {60^0} = \frac{1}{2} \Rightarrow IA = \frac{1}{2}IS \Rightarrow IA = \frac{1}{3}SA\)

\( \Rightarrow {V_2} = \frac{4}{3}\pi .I{A^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{{S{A^3}}}{{27}} = \frac{{4\pi S{A^3}}}{{81}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi .A{B^2}.SA}}{{\frac{{4\pi S{A^3}}}{{81}}}} = \frac{{27}}{4}.\frac{{A{B^2}}}{{S{A^2}}} = \frac{{27}}{4}{\left( {\frac{{AB}}{{SA}}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}{\left( {\cot {{60}^0}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{9}{4}\).