Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;0;0), B(3;2;4), C(0;5;4). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho

* Hướng dẫn giải

Giải chi tiết:

\(M \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow M(m;n;0)\)

$\overrightarrow{MA}\mathrm{ }=(1-m;-n;0)$

$\overrightarrow{MB}\mathrm{ }=(3-m;2-n;4)$

$\overrightarrow{MC}\mathrm{ }=(-m;5-n;4)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}\mathrm{ }+\overrightarrow{MB}\mathrm{ }+2\overrightarrow{MC}\mathrm{ }=(4-4m;12-4n;12)$

$\Rightarrow |\overrightarrow{MA}\mathrm{ }+\overrightarrow{MB}\mathrm{ }+2\overrightarrow{MC}|=\sqrt{{(4-4m)}^2+{(12-4n)}^2+{12}^2}\mathrm{ }\ge \sqrt{{12}^2}\mathrm{ }=12$

$\Rightarrow |\overrightarrow{MA}\mathrm{ }+\overrightarrow{MB}\mathrm{ }+2\overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $\{\begin{array}{c}4-4m=0\\ 12-4n=0\end{array}$\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{n = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy \(M(1;3;0).\)