Gọi (S) là tập các giá trị m thỏa mãn hệ sau có nghiệm {x2-14+m(x-1 +x+1)+2019m nhỏ hơn bằng 0 {mx2+3m-x4-1 lớn hơn bằng 0 . Trong tập (S) có bao nhiêu phần tử là số nguyên

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định

Dựa vào điều kiện có nghiệm của hệ để phân tích các trường hợp xảy ra của tham số \[m\].

Giải chi tiết:

ĐK: \[x \ge 1.\]

Xét phương trình $m{x}^2+3m-\sqrt{x^4-1}\mathrm{ }\ge 0\iff m(x^2+3)\ge \sqrt{x^4-1}$

Vì $\sqrt{x^4-1}\mathrm{ }\ge 0;\forall x\ge 1\Rightarrow m(x^2+3)\ge 0\iff m\ge 0$

+ Với \[m = 0\] ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\sqrt[4]{x^4-1}\le 0\\ \sqrt{x^4-1}\le 0\end{array}\Rightarrow x^4-1=0\iff [\begin{array}{c}x=1\left(tm\right)\\ x=-1\left(ktm\right)\end{array}$

+ Với \[m > 0\] thì  bất phương trình $\sqrt[4]{x^2-1}+m(\sqrt{x-1}\mathrm{ }+\sqrt{x+1})+2019m\le 0$ vô nghiệm vì

$\sqrt[4]{x^2-1}+m(\sqrt{x-1}\mathrm{ }+\sqrt{x+1})+2019m>0;\forall x\ge 1$

Vậy có 1 giá trị \(m\) thỏa mãn đề bài là \(m = 0.\)