Cho F(x)=x^pi là một nguyên hàm của hàm số f( x )pi ^x. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f'( x ).pi ^x

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {\pi ^x}}\\{dv = f'\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\).

Giải chi tiết:

Đặt \(I = \int {f'\left( x \right).{\pi ^x}dx} \).

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {\pi ^x}}\\{dv = f'\left( x \right)dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = {\pi ^x}\ln \pi }\\{v = f\left( x \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow I = {\pi ^x}f\left( x \right) - \ln \pi \int {{\pi ^x}f\left( x \right)dx} \).

Vì \(F\left( x \right) = {x^\pi }\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{\pi ^x}\) $\Rightarrow \{\begin{array}{c}{F}^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right){\pi }^x\\ \int f\left(x\right){\pi }^{x}dx\mathrm{ }=F\left(x\right)+C=x^{\pi }+C\end{array}$

$\Rightarrow \pi .x^{\pi \mathrm{ }-1}=f\left(x\right).{\pi }^x\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{\pi .x^{\pi \mathrm{ }-1}}{{\pi }^x}.$

$\Rightarrow I={\pi }^x\frac{\pi .x^{\pi \mathrm{ }-1}}{{\pi }^x}-x^{\pi }\ln \pi \mathrm{ }+C$

$\Rightarrow I=\pi .x^{\pi \mathrm{ }-1}-x^{\pi }\ln \pi \mathrm{ }+C.$