Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x^3 - 3x^2 + mx + 2 có cực đại và cực tiểu

Đáp án: \(m < 3\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\) có cực đại và cực tiểu \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết:

Ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 2\)

\( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x + m \Rightarrow y' = 0\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\)

Hàm số có cực đại và cực tiểu \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3.\)