Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', gọi phi là góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và

Đáp án: $\tan \phi \mathrm{ }=\sqrt{2}$

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ta làm như sau

+) Xác định giao tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

+) Trong \(\left( P \right)\) xác định đường thẳng \(a \bot d,\) trong \(\left( Q \right)\) xác định \(b \bot d\).

+) Góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là góc giữa \(a\) và \(b.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(a\) là cạnh hình lập phương và \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có \(\left( {A'BD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BD\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) có \(AC \bot BD\)  (do \(ABCD\) là hình vuông)

Trong \(\left( {A'BD} \right)\) có \(A'O \bot BD\)  (do tam giác \(A'BD\) cân tại \(A'\))

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(A'O\) và \(AC\) hay $\phi \mathrm{ }=\widehat{A^{\text{'}}OA}$

Gọi \(a\) là cạnh hình lập phương và \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Ta có \(\left( {A'BD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BD\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) có \(AC \bot BD\)  (do \(ABCD\) là hình vuông)

Trong \(\left( {A'BD} \right)\) có \(A'O \bot BD\) (do tam giác \(A'BD\) cân tại \(A'\))

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(A'O\) và \(AC\) hay $\phi \mathrm{ }=\widehat{A^{\text{'}}OA}$

Ta có \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)

Xét tam giác \(AA'O\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {A'OA} = \frac{{AA'}}{{AO}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \)

Vậy $\tan \phi \mathrm{ }=\sqrt{2}.$