Cho hình vuông (ABCD) có cạnh bằng a. Qua trung điểm (I) của cạnh AB dựng đường thẳng

Đáp án: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Phương pháp giải:

- Tính \({V_{S.ACD}} = \frac{1}{3}SI.{S_{\Delta ACD}}\)

- Chứng minh \(\Delta SAD\) vuông, tính \({S_{\Delta SAD}}\).

- Sử dụng công thức \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SAD}}}}\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ACD}} = \frac{1}{3}SI.{S_{\Delta ACD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot AB}\\{AD \bot SI}\end{array}} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA\)\( \Rightarrow \Delta SAD\)vuông tại \(A\).

Xét tam giác vuông \(SAI\): $SA=\sqrt{S{I}^2+A{I}^2}\mathrm{ }=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}\mathrm{ }=a$

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAD}} = \frac{1}{2}SA.AD = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Vậy \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SAD}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)