Giải phương trình x+1= căn bậc hai 2⁢(x+1)+2 căn bậc hai ⁢2⁢(x+1)+2⁢ căn bậc hai 4⁢(x+1).

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải: - Nhẩm nghiệm \[x = 3\].

- Xét các trường hợp \[x > 3,\; - 1 \le x < 3\].

- Chứng minh đó là nghiệm duy nhất bằng cách đặt ẩn phụ \[x + 1 = y\].

- Chứng minh các bất phương trình luôn đúng.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: $x\ge \mathrm{ }-1$

Ta có: \[x = 3\] là một nghiệm của phương trình.

Với \[x > 3\]: Đặt \[x + 1 = y\left( {y > 4} \right)\] phương trình đã cho trở thành: \[y = \sqrt {2y + 2\sqrt {2y + 2\sqrt {4y} } } \]

Ta có:

\[4 < y \Rightarrow 4y < {y^2}\]

$\iff \sqrt{4y}\mathrm{ }<\sqrt{y^2}\mathrm{ }=y$ (Do \[y > 4 \ge 0\])

$\begin{array}{c}\iff 2\sqrt{4y}\mathrm{ }<2y\\ \iff 2y+2\sqrt{4y}\le 2y+2y=4y\\ \iff 2\sqrt{2y+2\sqrt{4y}}\le 2\sqrt{4y}\\ \iff \sqrt{2y+2\sqrt{2y+2\sqrt{4y}}}\mathrm{ }<\sqrt{2y+2\sqrt{4y}}<\sqrt{2y+2y}\mathrm{ }=\sqrt{4y}<y\end{array}$

⇒ Phương trình vô nghiệm.

Với \[ - 1 \le x < 3\]: Chứng minh tương tự ta có phương trình vô nghiệm.

Vậy \[x = 3\] là nghiệm duy nhất của phương trình.

Chọn B.