Phương trình sin^3 x + cos^3 x = sin x − cos x có nghiệm là:

* Hướng dẫn giải

Bước 1:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x = \sin x - \cos x}\\{ \Leftrightarrow {{\cos }^3}x + \cos x = \sin x - {{\sin }^3}x}\\{ \Leftrightarrow \cos x\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) = \sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}\\{ \Leftrightarrow \cos x\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 1} \right) = \sin x.{{\cos }^2}x}\end{array}\]

\[\Leftrightarrow \cos x\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 1 - \sin x\cos x} \right) = 0\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \cos x.\frac{{1 + \cos 2x + 2 - \sin 2x}}{2} = 0}\end{array}\]

\[\Leftrightarrow \cos x\left( {1 + \cos 2x + 2 - \sin 2x} \right) = 0\]

\[\Leftrightarrow \cos x\left( { - \sin 2x + \cos 2x + 3} \right) = 0\]

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{cosx = 0(1)}\\{ - sin2x + cos2x + 3 = 0(2)}\end{array}} \right.\)

Bước 2:

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Xét (2) ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = 1}\\{c = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} < {c^2}\)

⇒⇒ phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là:\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]Đáp án cần chọn là: B

</>