Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

* Hướng dẫn giải

\[{\log _3}\left( {7 - {3^x}} \right) = 2 - x\]

Điều kiện:\[7 - {3^x} > 0\]

\[pt \Leftrightarrow 7 - {3^x} = {3^{2 - x}} \Leftrightarrow 7 - {3^x} = \frac{9}{{{3^x}}} \Leftrightarrow {7.3^x} - {\left( {{3^x}} \right)^2} = 9\, \Leftrightarrow {3^{2x}} - {7.3^x} + 9 = 0\,\,\left( * \right)\]

Đặt \[t = {3^x}\;\;\left( {t > 0} \right) \Rightarrow x = {\log _3}t\] Thay vào phương trình (*) ta có:\[ \Leftrightarrow {t^2} - 7t + 9 = 0\,\,\,\,\left( { * * } \right)\]

Nhận thấy (**) có: \[{\rm{\Delta }} = 13 > 0,\;\;S = 7 > 0,\;\;P = 9 > 0 \Rightarrow \] phương trình (**) có 2 nghiệm dương phân biệt giả sử là: \[{t_1};{t_2}\]

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình  (**)  ta được:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 7}\\{{t_1}{t_2} = 9}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có: \[{x_1} + {x_2} = {\log _3}{t_1} + {\log _3}{t_2} = {\log _3}\left( {{t_1}{t_2}} \right) = {\log _3}9 = 2\]

Đáp án cần chọn là: A