Cho hàm số f ( x ) = log 2 ( cos x ) . Phương trình f ′ ( x ) = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0 ; 2020pi ) ?

* Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \[\cos x > 0\]

Ta có: \[f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}}\]

\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\]

Với k chẵn, đặt\[k = 2m\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\]khi đó ta có\[x = m2\pi \,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\]

Với k lẻ, đặt\[k = 2n + 1\,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\]khi đó ta có\[x = \left( {2n + 1} \right)\pi = \pi + n2\pi \,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\]

Kiểm tra ĐKXĐ:

\[x = m2\pi \Rightarrow \cos x = 1 > 0\]thỏa mãn.

\[x = \pi + k2\pi \Rightarrow \cos x = - 1 < 0\] loại.

Suy ra nghiệm của phương trình là\[x = m2\pi ,\,\,m \in \mathbb{Z}\]

Theo bài ra ta có: \[x \in \left( {0;2020\pi } \right) \Rightarrow 0 < m2\pi < 2020\pi \Leftrightarrow 0 < m < 1010 \Rightarrow \]Có 1009 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Vậy phương trình \[f'\left( x \right) = 0\]có 1009 nghiệm trong khoảng\[\left( {0;2020\pi } \right)\]

Đáp án cần chọn là: B