Cho các số thực dương a,b,c khác 1 thỏa mãn Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\[\begin{array}{l}\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\frac{c}{b} = {\log _a}\frac{c}{{{a^3}b}}\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - {\log _a}\left( {{a^3}b} \right)\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - 3 - {\log _a}b\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}b.{\log _b}c - 2{\log _b}c - {\log _a}b - 1\left( 1 \right)\end{array}\]

Đặt \[x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\]  khi đó ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = {{\log }_a}ab - {{\log }_b}bc}\\{P = 1 + {{\log }_a}b - 1 - {{\log }_b}c}\\{P = x - y \Rightarrow y = x - P}\end{array}\]Thay x,y vào (1) ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} = xy - 2y - x - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + {{\left( {x - P} \right)}^2} = x\left( {x - P} \right) - 2\left( {x - P} \right) - x - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 2x + 2P - x - 1}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)}\end{array}\]

Để tồn tại các số a,b,c thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {\rm{\Delta }} \ge 0}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {P - 3} \right)}^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) \ge 0}\\{ \Leftrightarrow {P^2} - 6P + 9 - 4{P^2} + 8P - 4 \ge 0}\\{ \Leftrightarrow - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0}\\{ \Leftrightarrow - 1 \le P \le \frac{5}{3}}\end{array}\]

Vậy\[m = - 1,\,\,M = \frac{5}{3} \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 9.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^2} = 27\]

Đáp án cần chọn là: D