Cho hàm số f(x) liên tục trên

* Hướng dẫn giải

ĐK : \[f\left( x \right) + m + 2 > 0\]

Ta có\[{\log _5}\left( {f\left( x \right) + m + 2} \right) + f\left( x \right) > 4 - m\]

\[ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {f\left( x \right) + m + 2} \right) + f\left( x \right) + m + 2 > 6\left( * \right)\]

Xét hàm số \[y = {\log _5}t + t\,\,\,\left( {t > 0} \right)\] có\[y' = \frac{1}{{t.\ln 5}} + 1 > 0\] với t>0

Nên hàm số\[y = {\log _5}t + t\] đồng biến trên\[\left( {0; + \infty } \right)\] lại có\[y\left( 5 \right) = {\log _5}5 + 5 = 6\]

Nên từ (*) suy ra

\[y\left( {f\left( x \right) + m + 2} \right) > y\left( 5 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) + m + 2 > 5 \Leftrightarrow f\left( x \right) > 3 - m\] (1)

Từ hình vẽ ta có BBT của hàm số f(x) như sau

Từ hình vẽ ta có\[\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 \left| {f'\left( x \right)} \right|dx < \mathop \smallint \limits_1^4 \left| {f'\left( x \right)} \right|dx \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f'\left( x \right)dx < - \mathop \smallint \limits_1^4 f'\left( x \right)dx\]

\[ \Leftrightarrow f(x)|_{ - 1}^1 < - f(x)|_1^4 \Leftrightarrow f(1) - f( - 1) < f(1) - f(4)\,\,\,\,\;\left( 2 \right)\]

Từ (1) ; (2) và BBT ta thấy để phương trình đã cho đúng với \[x \in \left( { - 1;4} \right)\] suy ra\[3 - m \le f\left( 4 \right) \Leftrightarrow m \ge 3 - f\left( 4 \right).\]

Đáp án cần chọn là: D