Biết rằng x e^x là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng ( − vô cực ; + vô cực ) . Gọi F(x) là một nguyên hàm của f ′ ( x ) e^x thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:

Vì \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) nên

\[{\left( {x{e^x}} \right)^\prime } = f\left( { - x} \right) \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)\]

\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{ - x}}\left( {1 - x} \right)\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow f\prime (x) = - {e^{ - x}}(1 - x) - {e^{ - x}} = - e - x(2 - x) = (x - 2){e^{ - x}}\\ \Rightarrow f\prime (x){e^x} = (x - 2){e^{ - x}}.{e^x} = x - 2\\ \Rightarrow F(x) = \smallint f(x)dx = \smallint (x - 2)dx = \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + C\\F(0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 1\\ \Rightarrow F( - 1) = \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} - 2( - 1) + 1 = \frac{7}{2}\end{array}\]