Biết rằng nguyên hàm e^2 x cos 3 x d x = e^2 x ( a cos 3 x + b sin 3 x ) + c , trong đó a,b,c là các hằng số, khi đó tổng a+b có giá trị là:

* Hướng dẫn giải

Đặt\[f\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c\]

Ta có

\[f'\left( x \right) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x\]

\[ = \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + \left( {2b - 3a} \right){e^{2x}}\sin 3x\]

Để f(x) là một nguyên hàm của hàm số \[{e^{2x}}\cos x\], điều kiện là\[f\prime (x) = {e^{2x}}cos3x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + 3b = 1}\\{2b - 3a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{2}{{13}}}\\{b = \frac{3}{{13}}}\end{array} \Rightarrow a + b = \frac{5}{{13}}} \right.\]

Đáp án cần chọn là: C