Cho f(x) liên tục trên

* Hướng dẫn giải

Bước 1: Sử dụng tích phân từng phần.

Ta có \[A = \mathop \smallint \nolimits_0^2 xf'\left( x \right)dx\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = u}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{dx = du}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)

Khi đó\[A = x.f(x)\left| {_0^2} \right. - \int\limits_0^2 {f(x)dx = 2f\left( 2 \right) - \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx} \]

Bước 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số.

Xét\[B = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( {2x} \right)dx\]

Đặt\[t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\]

Đổi cận\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = 1 \Rightarrow t = 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó ta có\[B = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^2 f\left( t \right)dt = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx = 2 \Rightarrow \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx = 4\]

Vậy \[A = 2.1 - 4 = - 2\]