Có bao nhiêu số phức thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Đặt \[z = a + bi \Rightarrow \bar z = a - bi.\]

Khi đó ta có:

\[{z^2} + 2\overline z = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(a + bi)^2} + 2(a - bi) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} + 2a - 2bi = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2a + (2ab - 2b)i = 0\end{array}\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2} + 2a = 0}\\{2ab - 2b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2} + 2a = 0}\\{2b(a - 1) = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2} + 2a = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{a = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{ - {b^2} + 3 = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{{a^2} + 2a = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = \pm \sqrt 3 }\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{a = - 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\end{array}\)

\[ \Rightarrow {z_1} = 1 + \sqrt 3 i,{z_2} = 1 - \sqrt 3 i,{z_3} = 0,{z_4} = - 2\]

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D