Biết số phức z thỏa mãn điều kiện

Đặt\[z = a + bi \Rightarrow \bar z = a - bi\]

Theo bài ra ta có:

\[\frac{{5\left( {\bar z + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i\]

\( \Rightarrow \frac{{5(a - bi + i)}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\)

\[ \Leftrightarrow 5[a - (b - 1)i] = (a + 1 + bi)(2 - i)\]

\[ \Leftrightarrow 5a - 5(b - 1)i = 2(a + 1) + b + (2b - a - 1)i\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a = 2a + 2 + b}\\{5 - 5b = 2b - a - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow a = b = 1\)

\[ \Rightarrow z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i\]

\[ \Rightarrow w = 1 + z + {z^2} = 1 + 1 + i + 2i = 2 + 3i\]

Vậy \[\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} .\]