Cho dãy số (un) xác định bởi {u(1)=2; u(n+1)=u(n)=1/2, (n lớn hơn bằng 1). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

* Hướng dẫn giải

$u_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}$

$u_3=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}=\frac{2^2+1}{2^2}$

$u_4=\frac{\frac{5}{4}+1}{2}=\frac{9}{8}=\frac{2^3+1}{2^3}$

Chứng minh bằng quy nạp: $u_{n+1}=\frac{2^n+1}{2^n},\forall n=1;2;\mathrm{...}(\ast )$

* Với $n=1:u_2=\frac{u_1+1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{2^1+1}{2^1}$: (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với $n=k\ge 1$ tức là $u_k=\frac{2^k+1}{2^k}$ ta chứng minh (*) đúng với $n=k+1$ tức là cần chứng minh $u_{k+1}=\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}$

Ta có :

$u_{k+1}=\frac{u_k+1}{2}=\frac{\frac{2^k+1}{2^k}+1}{2}=\frac{\frac{2^k+1+2^k}{2^k}}{2}=\frac{{2.2}^k+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}+1}{2^{k+1}}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy $\left(u_n\right)$là:

$u_n=\frac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}=1+\frac{1}{2^{n-1}},\forall n=1;2;\mathrm{...}(\ast )$

Từ (*) ta có $u_{n+1}-u_n=1+\frac{1}{2^n}-\left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\right)$

$=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}}<0\forall n=1,2,\mathrm{...}\Rightarrow \left(u_n\right)$là dãy giảm và  

$\lim u_n=\lim \left(1+\frac{1}{2^{n-1}}\right)=1\Rightarrow$là dãy giảm tới 1 khi $n\to +\infty$

Đáp án cần chọn là: A