Cho các số thực a, b thỏa mãn |a|<1, |b|<1 . Tìm giới hạn I=lim(1+a+a^2+...+a^n/1+b+b^2+...+b^n) .

* Hướng dẫn giải

Ta có $1,a,a^2,\mathrm{...},a^n$ là một cấp số nhân có công bội a

$\Rightarrow 1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$

 Tương tự:  $1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n=\frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

$\Rightarrow \lim I=\lim \frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\lim \left(\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.\frac{1-b}{1-b^{n+1}}\right)=\lim \left(\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}.\frac{1-b}{1-a}\right)=\frac{1-b}{1-a}.$

(Vì $\left|a\right|<1,\left|b\right|<1\Rightarrow \lim a^{n+1}=\lim b^{n+1}=0$)

Đáp án cần chọn là: C