Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC

* Hướng dẫn giải

Bước 1:

Gọi $a_n$ là cạnh của tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ với n nguyên dương.

Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì $A_n{B}_n{C}_n$ bằng$a_n=\frac{a}{2^n}$ với mọi số nguyên dương n   (*)

Vì $A_1,B_1,C_1$ là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên $a_1=\frac{a}{2}$

Cạnh của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh là $\frac{a}{2}=\frac{a}{2^1}$

Giả sử (*) đúng với $n=k$

Tức là cạnh của tam giác $A_k{B}_k{C}_k$ là $a_k=\frac{a}{2^k}$

Ta có $A_{k+1}{B}_{k+1}{C}_{k+1}$ có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác $A_k{B}_k{C}_k$ nên có cạnh là $a_{k+1}=\frac{a_k}{2}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2^k}=\frac{a}{2^{k+1}}$

=> (*) đúng với $n=k+1$

=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

=> Chu vi của tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ như giả thiết là $P_n=\frac{3a}{2^n}$

Bước 2:

Như vậy $P=3a;P_1=\frac{3a}{2};P_2=\frac{3a}{2^2};\mathrm{...};P_n=\frac{3a}{2^n};\mathrm{...}$

Dãy số $\left(P_n\right)$ gồm $P,P_1,P_2,\mathrm{...}$ là cấp số nhân với số hạng đầu là $P=3a$ công bội $q=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow P+P_1+P_2+\mathrm{...}=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$

Đáp án cần chọn là: B