Tính giới hạn: lim[(1-1/2^2)(1-1/3^2)...(1-1/n^2)]. A.1 B.1/2 C.1/4 D.3/2

* Hướng dẫn giải

Cách 1:

Xét dãy số $\left(u_n\right)$với $u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right),n\ge 2,n\in \mathbb{N}$

Ta có:

$u_2=1-\frac{1}{2^2}=\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2.2}$

$u_3=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)=\frac{3}{4}.\frac{8}{9}=\frac{4}{6}=\frac{3+1}{2.3}$

$u_4=\left(1-\frac{1}{2^2}\right).\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)=\frac{3}{4}.\frac{8}{9}.\frac{15}{16}=\frac{5}{8}=\frac{4+1}{2.4}$

…….

$u_n=\frac{n+1}{2n}$

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định $u_n=\frac{n+1}{2n},\forall n\ge 2$

Khi đó $\lim \left[\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right]=\lim \frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B