Cho f(x) là đa thức thỏa mãn lim từ x đến 2 f(x)-20/x-2=10. Tính T=lim từ x đến 2 căn bậc ba (6f(x)+5)-5/x^2+x-6

Cách 1 (Đặc biệt hóa)

Chọn $f\left(x\right)=10x$,  ta có $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{10x-20}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{10\left(x-2\right)}{x-2}=10$

Lúc đó

$T=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}-5}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{60x+5}-5}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{60x+5}-5}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{60x+5-5^3}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left({\sqrt[3]{60x+5}}^2+5\sqrt[3]{60x+5}+25\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{60\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left({\sqrt[3]{60x+5}}^2+5\sqrt[3]{60x+5}+25\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{60}{\left(x+3\right)\left({\sqrt[3]{60x+5}}^2+5\sqrt[3]{60x+5}+25\right)}=\frac{4}{25}$