Phương trình sin^3x + cos^3x = sinx - cosx có nghiệm là: A. x = kpi (k thuộc Z)

* Hướng dẫn giải

Bước 1:

${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=\sin x-\cos x$

$\iff {\cos }^{3}x+\cos x=\sin x-{\sin }^{3}x$

$\iff \cos x\left({\cos }^{2}x+1\right)=\sin x\left(1-{\sin }^{2}x\right)$

$\iff \cos x\left(\frac{1+\cos 2x}{2}+1\right)=\sin x.{\cos }^{2}x$

$\iff \cos x\left(\frac{1+\cos 2x}{2}+1-\sin x\cos x\right)=0$

$\iff \cos x.\frac{1+\cos 2x+2-\sin 2x}{2}=0$

$\iff \cos x.\left(1+\cos 2x+2-\sin 2x\right)=0$

$\iff \cos x.\left(-\sin 2x+\cos 2x+3\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}\cos x=0\left(1\right)\\ -\sin 2x+\cos 2x+3=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Bước 2:

$\left(1\right)\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Xét (2) ta có: $\left\{\begin{array}{c}a=-1\\ b=1\\ c=-3\end{array}\right.\Rightarrow a^2+b^2<c^2$

⇒ phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là: $\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: B