Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình: sin^2x - msinxcosx - 3cos^2x = 2m có nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Trường hợp 1: $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Khi đó ${\sin }^{2}x=1$

Thay vào phương trình ta có:

1 − m.0 − 3.0 = 2m

⇔ 2m = 1

$\iff m=\frac{1}{2}\notin Z$

 

⇒ loại

Trường hợp 2: $\cos x\ne 0$

$\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

 

Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos }^{2}x$ ta được:

$\frac{si{n}^{2}x}{{\cos }^{2}x}-m\frac{\sin x}{\cos x}-3=\frac{2m}{{\cos }^{2}x}$

$\iff {\tan }^{2}x-m\tan x-3=2m\left(1+{\tan }^{2}x\right)$

 

$\iff \left(2m-1\right){\tan }^{2}x+m\tan x+2m+3=0$

Đặt tanx = t  khi đó phương trình có dạng:

$\left(2m-1\right)t^2+mt+2m+3=0$

 

$m=\frac{1}{2}\notin Z\Rightarrow$Loại

$m\ne \frac{1}{2}$ ta có:

$\Delta =m^2-4\left(2m-1\right)\left(2m+3\right)$

$=m^2-16m^2-16m+12$

$=-15m^2-16m+12$

Để phương trình có nghiệm thì:$\Delta \ge 0$

$\iff \frac{-8-2\sqrt{61}}{15}\le m\le \frac{-8+2\sqrt{61}}{15}$

Mà $m\in Z\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}m=-1\\ m=0\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C