Giải phương trình cos3xtan5x = sin7x A. x = npi/2; x= pi/20 + kpi/13 (k, n thuộc Z)

* Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: $\cos 5x\ne 0$

$\iff 5x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$

$\iff x\ne \frac{\pi }{10}+\frac{m\pi }{5}\left(m\in Z\right)$

$\cos 3x\tan 5x=\sin 7x$

$\iff \cos 3x\sin 5x=\sin 7x\cos 5x$

$\iff \frac{1}{2}\left(\sin 8x+\sin 2x\right)=\frac{1}{2}\left(\sin 12x+\sin 2x\right)$

$\iff \sin 8x+\sin 2x=\sin 12x+\sin 2x$

$\iff \sin 12x=\sin 8x$

$\iff \left[\begin{array}{c}12x=8x+k2\pi \\ 12x=\pi -8x+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}\end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

 

Đối chiếu điều kiện ta có:

$\frac{k\pi }{2}\ne \frac{\pi }{10}+\frac{m\pi }{5}\left(k,m\in Z\right)$

$\iff 5k\ne 1+2m$

$\iff k\ne \frac{1+2m}{5}$

Do kϵZ nên: $k=\frac{1+2m}{5}\iff \frac{1+2m}{5}$ là số nguyên.

Mà 1 + 2m luôn lẻ nên $\frac{1+2m}{5}$không chia hết cho 2 với mọi m.

Do đó, nếu $k\ne \frac{1+2m}{5}$thì k phải là số nguyên chẵn.

⇒k chẵn, đặt k = 2n, khi đó ta có $x=\frac{2n\pi }{2}=n\pi \left(n\in Z\right)$

$\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}\ne \frac{\pi }{10}+\frac{m\pi }{5}\left(k,m\in Z\right)$

$\iff 1+2k\ne 2+4m$

Vì 1 + 2k lẻ, 2 + 4m chẵn nên 1 + 2k ≠ 2 + 4m luôn đúng với mọi k, m ∈ Z.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

$x=n\pi ;x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}\left(k,n\in Z\right)$

Đáp án cần chọn là: B