Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): 3x-4y+5=0 và đường tròn (C): x^2

* Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I(−1;3) và bán kính $R=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3^2-9}=1$

Ta có: $d(I;d)=\frac{\left|3.\left(-1\right)-4.3+5\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2>R$

Suy ra d không cắt (C).

Ta có $IM+MN\ge IN\iff MN\ge IN-R$

MN min  ⇔  IN đạt min ⇔⇔ N là chân hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng d.

Giả sử $N(a;b)$.Vì $N\in d$ nên ta có $3a-4b+5=0\left(1\right)$

Mặt khác, ta có: IN vuông góc với d nên $\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{u_d}=0$. Mà

$\overrightarrow{IN}=\left(a+1;b-3\right),\overrightarrow{u_d}=\left(4;3\right)$.Suy ra ta có:

$4(a+1)+3(b-3)=0\iff 4a+3b-5=0\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}4a+3b-5=0\\ 3a-4b+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{5}\\ b=\frac{7}{5}\end{array}\right.\Rightarrow N\left(\frac{1}{5};\frac{7}{5}\right)$

Vì $d(I;d)=2R$ nên M là trung điểm của IN. Do đó, tọa độ của M là:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_M=\frac{1}{2}\left(-1+\frac{1}{5}\right)=-\frac{2}{5}\\ y_M=\frac{1}{2}\left(3+\frac{7}{5}\right)=\frac{11}{5}\end{array}\right.\Rightarrow M\left(-\frac{2}{5};\frac{11}{5}\right)$

Đáp án cần chọn là: B