Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy

Xét tam giác SAD vuông tại A có $SA=a\sqrt{3},AD=3a\Rightarrow \widehat{SDA}={30}^0\Rightarrow \widehat{MAI}={30}^0$

Lại có tam giác SAI vuông tại A có$SA=a\sqrt{3},AI=a\Rightarrow \widehat{SIA}={60}^0$ nên tam giác AHI có $\widehat{H}={90}^0$  hay $AH\perp SI$

Mà $AH\perp IC$ do $IC//BA\perp \left(SAD\right)$  nên $AH\perp \left(SIC\right)\Rightarrow AH\perp SC$
Ngoài ra, $AE\perp SB,AE\perp BC\left(BC\perp \left(SAB\right)\right)\Rightarrow AE\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AE\perp SC$

Mà $AF\perp SC$ nên $SC\perp \left(AEFH\right)$ và AEFH là tứ giác có $\widehat{E}=\widehat{H}={90}^0$ nên nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm AF đường kính AF.
Gọi O là trung điểm AC thì OK//SC, mà $SC\perp \left(AEFH\right)$ nên $OK\perp \left(AEFH\right)$ hay O chính là đỉnh hình nón và đường tròn đáy là đường tròn đường kính AF.

Ta tính AF,OK.

Xét tam giác SAC vuông tại A đường cao AF nên

$AF=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}};OK=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}.\frac{C{A}^2}{CS}=\frac{a}{\sqrt{5}}$

Vậy thể tích $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi .\frac{a}{\sqrt{5}}.{\left(\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\right)}^2=\frac{\pi a^3}{10\sqrt{5}}$

Đáp án cần chọn là: C