Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 = 5 và xn+1=xn+n với mọi n thuộc N* . Số hạng tổng quát của dãy số (xn) là:

Trả lời:

$x_1=5$

$x_2=x_1+1=5+1$

$x_3=x_2+2=5+1+2$

$x_4=x_3+3=5+1+2+3$

……

Dự đoán

$x_n=5+1+2+3+\mathrm{...}+n-1$

$x_n=5\frac{n\left(n-1\right)}{2}\left(*\right)\forall n\in N*$

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Dễ thấy, (∗) đúng với n = 1.

Giả sử (∗) đúng đến n = k (k ≥ 1), tức là $x_k=5+\frac{k\left(k-1\right)}{2}$, 

ta chứng minh (∗) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh 

$x_{k+1}=5+\frac{\left(k+1\right)k}{2}$

Ta có:

$x_{k+1}=x_k+k$

$x_{k+1}=5+\frac{k\left(k-1\right)}{2}+k$

$x_{k+1}=5+\frac{k\left(k-1\right)+2k}{2}$

$x_{k+1}=5+\frac{k\left(k-1+2\right)}{2}$

$x_{k+1}=5+\frac{\left(k+1\right)k}{2}$

Vậy (∗) đúng với mọi n∈N∗.

Vậy $x_n=5+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=\frac{n^2-n+10}{2},\forall n\in N*$

Đáp án cần chọn là: A